chama-se ângulo de dois planos a eßo menor ângulo que um vetor normal a
a forma com um vetor normal a ß.
nesse contexto, calcule o ângulo entre os planos:
a: 2x + y-z + 3 = 0
b: x + y - 4 = 0
Answers: 1
O ângulo entre os planos α: 2x + y - z + 3 = 0 e β: x + y - 4 = 0 é 30º.
Considere que temos dois vetores u e v. O ângulo entre os vetores é definido pela fórmula .
No plano α: 2x + y - z + 3 = 0, temos que o vetor normal é u = (2,1,-1).
Já no plano β: x + y - 4 = 0, temos que o vetor normal é v = (1,1,0).
Calculando o produto interno entre os vetores u e v, obtemos:
<u,v> = 2.1 + 1.1 + (-1).0
<u,v> = 2 + 1
<u,v> = 3.
Calculando a norma do vetor u:
||u||² = 2² + 1² + (-1)²
||u||² = 4 + 1 + 1
||u||² = 6
||u|| = √6.
Calculando a norma do vetor v:
||v||² = 1² + 1² + 0²
||v||² = 1 + 1
||v||² = 2
||v|| = √2.
Portanto, o ângulo entre os vetores u e v é:
cos(θ) = 3/√2.√6
cos(θ) = 3/√12
cos(θ) = 3/2√3
cos(θ) = 6√3/12
cos(θ) = √3/2
θ = 30º.
Temos que o ângulo entre dois planos é igual ao menor ângulo tal que:
cos(α₁,α₂) = |cos(n₁, n₂)|
sendo n₁ e n₂ os vetores normais aos planos.
O vetor normal do plano 2x + y - z = -3 é n₁ = (2,1,-1) e o vetor normal do plano x + y = 4 é n₂ = (1,1,0).
Calculando o produto interno n₁.n₂:
<n₁,n₂> = 2.1 + 1.1 - 1.0 = 3
Calculando a norma dos vetores:
||n₁|| = √6
||n₂|| = √2
Assim,
Portanto, podemos concluir que o ângulo entre os planos é igual a 30°.
Alternativa correta: Alternativa 2.
R1 = a1*a2 + b1*b2 + c1*c2 = 2*1 + (-1)*1+3*(-4) = -13
R2 = ±√a1² +a2² + a3³ = 2² + (-1)² + 3² = ±√14
R3 = ± √b1² + b2² + b3² = 1² + 1² +(-4)² = ±√18
cos(α) = -13/[±√14 * ±√18] = -13/±6√7 = ±13√7/42 = ±0,818923
α = arccos(0,818923) = 0,611264 radianos
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13/10/2015
Bons estudos.
SSRC
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